倍增法求LCA(最近公共祖先)

实在太蠢了搞不定ST表o(╥﹏╥)o，只能学个倍增法了。

讲倍增法前先看看暴力法。 第一步肯定是dfs求每个点的深度。 查询lca(a,b)时，先把ab中深度较大的点往上移，移到两个点深度相同为止； 现在两个点深度相同了，于是两个点一起往上移，直至移到同一个位置，即最近公共祖先。

倍增法其实就是在暴力的基础上，对把两个点上移的过程进行倍增操作(因为一步一步走真的很慢啊)

倍增操作即：如果向上移动 $2^i$ 步后，两个点的位置仍不相同，则把两个点直接往上移 $2^i$ 步 (为什么两个点的位置不能相同？因为相同的话大概率就跑过头了啊) i从树的最大深度开始递减，这样往上走，最终两个点会相聚在最近公共祖先，或差一步到达最近公共祖先 操作的过程中需要预处理的量: fa[ ]数组，fa[v] = u表示v的父节点为u anc[ ][ ]数组，anc[i][j] = k表示节点 i 往上走 $2^j$ 步会走到节点k in[ ],out[ ]，dfs序的入出时间戳(特判会用到，见代码注释) deep[ ]数组，deep[u]=d表示节点u的深度为d 树的最大深度m,可以默认20，也可以根据输入的N算一下

anc的求法: 显然anc[i][0] = fa[i] 容易得到，i向上走 $2^j$ 步的位置与i先向上走 $2^{j-1}$ 步，再向上走 $2^{j-1}$ 步是一样的， 即: anc[i][j] = anc[anc[i][j-1]][j-1]

模板题poj1330的代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 10010;

struct edge
{
    int to,next;
}e[maxn<<1];
int head[maxn<<1],cnt,fa[maxn],anc[maxn][20],in[maxn],out[maxn],tot,m;
void add(int u,int v)
{
    e[tot].next = head[u];
    e[tot].to = v;
    head[u] = tot++;
}

void init(int N)
{
    m = ceil(log(N+0.0)/log(2.0));
    cnt = 0;
    memset(head,-1,8*N);
    memset(fa,0,4*N);
    memset(anc,0,80*N);
    tot = 0;
}

int deep[maxn],maxdeep;
void dfs(int u,int pre,int d)
{
    in[u] = ++cnt;
    deep[u] = d;
    anc[u][0] = fa[u];
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        anc[u][i] = anc[anc[u][i-1]][i-1];
        if(!anc[u][i])
            break;
    }
    for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
    {
        int v = e[i].to;
        if(v == pre)
            continue;
        dfs(v,u,d+1);
    }
    out[u] = cnt;
}

int lca(int a,int b)
{
    if(deep[a]>deep[b])//保证a在上面
        swap(a,b);
    if(in[a]<=in[b]&&out[b]<=out[a])//在dfs序中，a夹着b，即b在a的子树中，
        return a;                   //最近公共祖先显然是a
    for(int i=m;~i;--i)
        if(deep[a]<deep[b]&&deep[a]<=deep[anc[b][i]])
            b = anc[b][i];//上移至深度相同，也可以倍增
    for(int i=m;~i;--i)
    {
        if(anc[a][i]!=anc[b][i])
            a = anc[a][i],b = anc[b][i];
    }
    return anc[a][0];
}

int T,N,u,v,rt,a,b;
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&N);
        init(N);
        for(int i=1;i<N;++i)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(u,v);
            add(v,u);
            fa[v] = u;
        }
        rt = 1;
        while(fa[rt]) ++rt;
        dfs(rt,rt,1);
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",lca(a,b));
    }
    return 0;
}
//(PS:单论这题的最优解法应该是暴力，因为只有一组查询。。。)